Question

5．已知函数f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-lnx（x∈R）．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=x-$\frac{1}{x}$-lnx，（x＞0），f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，可得f′（1）=1，又f（1）=0，利用点斜式即可得出；
（2）f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$，函数f（x）在其定义域内为增函数，f′（x）≥0在其定义域内恒成立，即$a≥\frac{x}{{x}^{2}+1}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x-$\frac{1}{x}$-lnx，（x＞0），
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=1，又f（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程为y=x-1；
（2）f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$，
∵函数f（x）在其定义域内为增函数，
∴f′（x）≥0在其定义域内恒成立，
∴$a≥\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
∵x＞0，∴$\frac{x}{{x}^{2}+1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$$≤\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=$\frac{1}{2}$．
∴$a≥\frac{1}{2}$，
∴a的取值范围是$[\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、几何意义、切线方程、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．