Question

11．△ABC中，已知AB=4，BC=5，AC=6，若点O是△ABC的外心，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$的值是18；若点G是△ABC的重心，则$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{AC}$的值是$\frac{33}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积的定义得出$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²=18，
（2）根据点G是△ABC的重心，得出$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AC}$），COS∠BAC=$\frac{9}{16}$，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的值代入$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{AC}$即可．

解答 解：（1）∵△ABC中，已知AB=4，BC=5，AC=6，若点O是△ABC的外心，
∴根据向量的数量积的定义得出$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²=18，

（2）∵△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，点G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AC}$），COS∠BAC=$\frac{9}{16}$
$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=4×$6×\frac{9}{16}$=$\frac{27}{2}$，
∴$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{AC}$═$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AC}$）$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}×\frac{27}{2}$$+\frac{1}{3}×$36=$\frac{33}{2}$

故答案为：18；$\frac{33}{2}$．

点评 本题综合考察平面向量的运算，结合几何图形的性质，线段的关系确定向量之间的关系，再接数量积，三角形的定理求解，难度较大，属于中档题．