Question

19．在四边形ACBD中，将点A沿着$\overrightarrow{a}$=（-1，3）方向平移得点B，将$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα）绕着坐标原点O顺时针旋转$\frac{π}{2}$得到$\overrightarrow{OD}$，若四边形ACBD的对角线相互垂直，则tanα=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意和诱导公式求出$\overrightarrow{OD}$的坐标，再由向量的减法运算求出$\overrightarrow{CD}$的坐标，根据向量垂直的条件和向量的数量积运算列出方程并化简，由商的关系求出tanα的值．

解答 解：由题意得在四边形ACBD中，对角线是AB、CD，
因为将$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα）绕着坐标原点O顺时针旋转$\frac{π}{2}$得到$\overrightarrow{OD}$，
所以$\overrightarrow{OD}$=（cos（α-$\frac{π}{2}$），sin（α-$\frac{π}{2}$））=（sinα，-cosα），
则$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$=（sinα-cosα，-cosα-sinα），
因为将点A沿着$\overrightarrow{a}$=（-1，3）方向平移得点B，且对角线相互垂直，
所以（-1，3）•（sinα-cosα，-cosα-sinα）=0，
则-（sinα-cosα）+3（-cosα-sinα）=0，
解得4sinα=-2cosα，则tanα=$-\frac{1}{2}$，
故答案为：$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积运算，向量垂直的条件，向量的减法运算，以及诱导公式、商的关系，属于中档题．