Question

4．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠A：∠B：∠C=1：2：6，求证：$\frac{a}{b}$=$\frac{a+b}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 根据三角形的内角和定理可求出△ABC三个内角的度数，要证$\frac{a}{b}$=$\frac{a+b}{a+b+c}$，只需证a²+ab+ac=ab+b²即a（a+c）=b²，延长CB到点D，使得BD=BA，连接AD，只需证CB•CD=CA²，只需证△CAB∽△CDA，即可得解．

解答 证明：设∠BAC=α，由∠BAC：∠ABC：∠C=1：2：6可得∠B=2α，∠C=6α．
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴α+2α+6α=180°，
解得：α=20°，
∴∠BAC=20°，∠ABC=40°，∠C=120°．
延长CB到点D，使得BD=BA=c，连接AD，如图所示．
∵BD=BA，∠ABC=40°，
∴∠D=∠DAB，∠ABC=∠D+∠DAB=40°，
∴∠D=20°，
∴∠D=∠BAC．
∵∠C=∠C，∠BAC=∠D，
∴△CAB∽△CDA，
∴$\frac{CA}{CD}$=$\frac{CB}{CA}$，
∴$\frac{b}{a+c}$=$\frac{a}{b}$．
设$\frac{b}{a+c}$=$\frac{a}{b}$=k，
则有b=k（a+c），a=kb．
∴$\frac{a+b}{a+b+c}$=$\frac{kb+k（a+c）}{a+b+c}$=$\frac{k（a+b+c）}{a+b+c}$=k，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{a+b}{a+b+c}$．故得证．

点评 本题主要考查了正弦定理与余弦定理，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，考查了转化思想，属于中档题．