Question

9．已知x＞0，y＞0，证明：（x+y）（x²+y²）（x³+y³）≥8x³y³．

Answer 1

分析 利用基本不等式，再相乘，即可证明结论．

解答 证明：∵x＞0，y＞0，
∴x+y≥2$\sqrt{xy}$，x²+y²≥2xy，x³+y³≥2$\sqrt{{x}^{3}{y}^{3}}$，
∴（x+y）（x²+y²）（x³+y³）≥2$\sqrt{xy}$•2xy•2$\sqrt{{x}^{3}{y}^{3}}$=8x³y³．（当且仅当x=y时取等号）

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．