Question

20．函数f（x）=lnx+ln（2-x）+x的单调递增区间是（0，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由函数的解析式求得函数的定义域，令导数大于或等于零，求得x的范围，再结合定义域求得函数的增区间．

解答 解：∵函数f（x）=lnx+ln（2-x）+x，∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，
求得0＜x＜2，故函数的定义域为（0，2），
由f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2-x}$+1=$\frac{{x}^{2}-2}{x（x-2）}$≥0，
用穿根法求得0＜x≤$\sqrt{2}$，或x＜-$\sqrt{2}$，或 x＞2，
结合函数的定义域可得函数的增区间为 $（0，\sqrt{2}]$，
故答案为：$（0，\sqrt{2}]$．

点评 本题主要考查求函数的定义域，利用导数研究函数的单调性，用穿根法解分式不等式，属于中档题．