Question

8．已知函数f（x）=x²-2x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，令f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，对判别式讨论，即当$a≥\frac{1}{2}$时，当$0＜a≤\frac{1}{2}$时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，由（Ⅱ）可得$0＜a＜\frac{1}{2}$，不等式f（x₁）≥mx₂恒成立即为$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$≥m，求得$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-2x+2lnx，$f'（x）=2x-2+\frac{2}{x}$，
则f（1）=-1，f'（1）=2，
所以切线方程为y+1=2（x-1），
即为y=2x-3．
（Ⅱ）$f'（x）=2x-2+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+a}}{x}$（x＞0），
令f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，
（1）当△=4-8a≤0，即$a≥\frac{1}{2}$时，f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）当△=4-8a＞0且a＞0，即$0＜a≤\frac{1}{2}$时，由2x²-2x+a=0，得${x_{1，2}}=\frac{{1±\sqrt{1-2a}}}{2}$，
由f'（x）＞0，得$0＜x＜\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}$或$x＞\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}$；
由f'（x）＜0，得$\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}＜x＜\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}$．
综上，当$a≥\frac{1}{2}$时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，f（x）的单调递增区间是$（0，\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}）$，$（\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}，+∞）$；
单调递减区间是$（\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}）$．
（Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，由（Ⅱ）可得$0＜a＜\frac{1}{2}$，
由f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，则x₁+x₂=1，${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}$，${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}$，
由$0＜a＜\frac{1}{2}$，可得$0＜{x_1}＜\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}＜{x_2}＜1$，$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}=\frac{{x_1^2-2{x_1}+aln{x_1}}}{x_2}=\frac{{x_1^2-2{x_1}+（2{x_1}-2x_1^2）ln{x_1}}}{x_2}$
=$\frac{{x_1^2-2{x_1}+（2{x_1}-2x_1^2）ln{x_1}}}{{1-{x_1}}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，
令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），h′（x）=-1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$+2lnx，
由0＜x＜$\frac{1}{2}$，则-1＜x-1＜-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$＜（x-1）²＜1，-4＜-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$＜-1，
又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，
即有h（x）＞h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$-ln2，即$\frac{f（x）}{x}$＞-$\frac{3}{2}$-ln2，
即有实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{3}{2}$-ln2]．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围，属于中档题．