Question

16．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，公比是q，且满足：a₁=2，b₁=1，b₂+S₂=8，S₂=（b₂+1）q
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求出数列{c_n}的通项公式，利用错位相减法进行求和即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{q+2+{a}_{2}=8}\\{2+{a}_{2}=（q+1）q}\end{array}\right.$，消去a₂得：q²+2q-8=0，
解得q=2或q=-4（舍），…（3分）
∴a₂=4，d=2，从而a_n=2n，b_n=2^n-1…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=2n•（$\frac{1}{2}$）^n-1．
则T_n=2•（$\frac{1}{2}$）⁰+4•（$\frac{1}{2}$）¹+…+2（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-2+2n•（$\frac{1}{2}$）^n-1．①
$\frac{1}{2}$T_n=2•（$\frac{1}{2}$）¹+4•（$\frac{1}{2}$）²+…+2（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+2n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．②
两式作差得$\frac{1}{2}$T_n=2•（$\frac{1}{2}$）⁰+2•（$\frac{1}{2}$）¹+…+2•（$\frac{1}{2}$）^n-1-2n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
=$\frac{2[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-2n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=4-（4+2n）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=8-（4+2n）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，（12分）

点评 本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的求解，以及利用错位相减法进行求和，考查学生的运算能力．