Question

12．已知抛物线E：x²=2py （p＞0）上一点T（t，4）（ t＞0）到其焦点F的距离为5，经过点Q（1，1）作斜率为k（k∈R）的直线交抛物线E于A、B两点，抛物线E分别在点A、B处的切线相交于点P．
（1）求p，t的值和抛物线E的准线l方程
（2）当k=0时，问点P是否在E的准线l上？为什么？
（3）当k （k∈R）变化时，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由题设条件可知，点T到抛物线E的准线l：y=$-\frac{p}{2}$的距离为5，即4+$\frac{p}{2}$=5，解得p，即可得出t及其准线方程．
（2）k=0时，直线AB：y=1，此时解得A（2，1），B（-2，1）．利用导数可得：${y}^{′}=\frac{1}{2}x$，可得抛物线在A，B处切线斜率及其切线方程，联立解得交点，即可判断出点P是否在E的准线l上．
（3）AB：y-1=k（x-1），将它与抛物线方程联立，可得x²-4kx+4k-4=0，可得根与系数的关系，利用导数的几何意义可得切线方程，联立解出交点，化简整理即可得出．

解答 解．（1）由题设条件可知，点T到抛物线E的准线l：y=$-\frac{p}{2}$的距离为5，
即4+$\frac{p}{2}$=5，得到 p=2，从而 E：x²=4y，t=4 （ t＞0），
∴E的准线l方程为 y=-1．
（2）k=0时，直线AB：y=1，此时解得A（2，1），B（-2，1）．
∵E在点A处切线斜率为${k_{PA}}=y'{|_{x={x_A}}}=\frac{x_A}{2}=1$，
故抛物线E在点A处切线PA方程为：x-y-1=0．
同理，切线PB方程为：x+y+1=0，
解$\left\{\begin{array}{l}x-y-1=0\\ x+y+1=0\end{array}\right.$，得点P坐标为 （0，-1 ），
∵点P坐标满足准线l的方程y=-1，
故点P在E的准线l上．
（3）∵直线AB的斜率为k，
故AB：y-1=k（x-1），
将它与抛物线方程联立，可得x²-4kx+4k-4=0，
设A（x₁，$\frac{x_1^2}{4}$），B（x₂，$\frac{x_2^2}{4}$），显然，x₁≠x₂，
则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=4k-4\end{array}\right.$…①．
∵${k_{PA}}=y'{|_{x={x_1}}}=\frac{x_1}{2}$，
∴PA方程为：$y-\frac{x_1^2}{4}=\frac{x_1}{2}（x-{x_1}）$，即PA：4y=2x₁x-x₁²…②
同理PB：4y=2x₂x-x₂²…③…
设P（x，y），则点P坐标同时满足②、③．
②-③，整理得 2x（x₁-x₂）=（x₁-x₂） （x₁+x₂），
∵x₁≠x₂，∴2x=x₁+x₂…④．
将④代入②，消去x，得4y=x₁（x₁+x₂）-x₁²，
整理得4y=x₁x₂…⑤…
将①代入④、⑤整理，得$\left\{\begin{array}{l}x=2k\\ y=k-1\end{array}\right.$，
消去k，得到，点P的轨迹方程为：x-2y-2=0．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、利用导数的几何意义研究切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．