Question

2．平面直角坐标系中，圆C₁参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=1+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），椭圆C₂的极坐标方程：${ρ}^{2}=\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$．
（1）求椭圆C₂直角坐标方程，若A（x，y）是椭圆C₂上任意一点，求x+$\sqrt{2}y$取值范围；
（2）若P是椭圆C₂上任意一点，Q为圆C₁上任意一点，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C₂的极坐标方程：${ρ}^{2}=\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得x²+2y²=2，设A$（\sqrt{2}cosα，sinα）$，（α∈[0，2π）），则x+$\sqrt{2}y$=$2sin（α+\frac{π}{4}）$∈[-2，2]，即可得出；
（2）圆C₁参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=1+2sinα}\end{array}\right.$化为x²+（y-1）²=4．如图所示，圆C₁与椭圆C₂相切于点M，且除了点M以外椭圆上的所有点都在圆的内部，即可得出．

解答 解：（1）由椭圆C₂的极坐标方程：${ρ}^{2}=\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，可得x²+2y²=2，即$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
设A$（\sqrt{2}cosα，sinα）$，（α∈[0，2π）），则x+$\sqrt{2}y$=$\sqrt{2}cosα+\sqrt{2}sinα$=$2sin（α+\frac{π}{4}）$∈[-2，2]，
∴x+$\sqrt{2}y$取值范围是[-2，2]；
（2）圆C₁参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=1+2sinα}\end{array}\right.$化为x²+（y-1）²=4．
如图所示，圆C₁与椭圆C₂相切于点M，且除了点M以外椭圆上的所有点都在圆的内部，
因此当点P取点M且PQ为圆C₁的直径时，|PQ|取得最大值4．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题