Question

13．已知直线l和双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）有两个交点A，B与该双曲线的渐近线也有两个交点CD，证明：|AC|=|BD|．

Answer 1

分析 设直线为x=my+n代入双曲线方程，渐近线方程，用韦达定理，可得AB、CD 的中点重合，即可得到结论．

解答 证明：设直线为x=my+n代入双曲线方程$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，
可得（b²m²-a²）y²+2mny+b²n²-a²b²=0
解得：$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{mn}{{a}^{2}-{b}^{2}{m}^{2}}$．
又双曲线的渐近线方程为$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=0，直线方程代入可得（b²m²-a²）y²+2mny+b²n²=0，
可得：$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{mn}{{a}^{2}-{b}^{2}{m}^{2}}$．
∵直线l与双曲线右支交于两点A，B，与渐近线交于两点C，D，A在B，C两点之间，
∴AB、CD 的中点重合．
∴|AC|=|BD|．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．