Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=1，且[2+（-1）ⁿ⁺¹]a_n+2=a_n+（-1）ⁿ+1（n∈N^*），设b_n=a_2n-1，c_n=a_2n．
（1）求数列{b_n}和{c_n}的通项公式；
（2）令d_n=b_n•c_n，记数列{d_n}的前n项和为T_n，求证T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）在条件中，用2n-1代换n，得[2+（-1）²ⁿ]a_2n+1=a_2n-1，可得{b_n}是等比数列，公比为$\frac{1}{3}$；在条件中，用2n代换n，得[2+（-1）²ⁿ⁺¹]a_2n+2=a_2n+2，可得{c_n}是等差数列，公差为2，即可求数列{b_n}和{c_n}的通项公式；
（2）确定d_n=b_n•c_n，利用错位相减法数列{d_n}的前n项和为T_n，即可证明结论．

解答 （1）解：在条件中，用2n-1代换n，得[2+（-1）²ⁿ]a_2n+1=a_2n-1，
即3a_2n+1=a_2n-1，
∵b_n=a_2n-1，
∴{b_n}是等比数列，公比为$\frac{1}{3}$，
n=1时，b₁=a₁=$\frac{1}{3}$，∴b_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
在条件中，用2n代换n，得[2+（-1）²ⁿ⁺¹]a_2n+2=a_2n+2
即a_2n+2-a_2n=2，
∵c_n=a_2n，
∴{c_n}是等差数列，公差为2
n=1时，c₁=a₂=1，∴c_n=2n-1；
（2）证明：d_n=b_n•c_n=（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴T_n=1$•\frac{1}{3}$+3•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{1}{3}$T_n=1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+3•$\frac{1}{{3}^{3}}$…+（2n-3）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
两式相减可得$\frac{2}{3}$T_n=1$•\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{{3}^{2}}$+2•$\frac{1}{{3}^{3}}$…+2•$\frac{1}{{3}^{n}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{{3}^{n}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=1-$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{3}{2}$•（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$＜1．

点评 本题考查等差数列、等比数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项，正确利用错位相减法是关键．