Question

20．若函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx在（$\frac{1}{2}$，+∞）内单调递增，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m=$\frac{1}{4}$
• B． 0＜m＜$\frac{1}{4}$
• C． m≥$\frac{1}{4}$
• D． m≤$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx在（$\frac{1}{2}$，+∞）内单调递增，得其导函数在（$\frac{1}{2}$，+∞）内大于等于0恒成立，分离参数m后求出x²在（$\frac{1}{2}$，+∞）内的范围得答案．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx，${f}^{′}（x）=x-\frac{m}{x}$，
由f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）内单调递增，
得$x-\frac{m}{x}≥0$在（$\frac{1}{2}$，+∞）内恒成立，
即$\frac{m}{x}≤x$，也就是m≤x²在（$\frac{1}{2}$，+∞）内恒成立，
∵y=x²在（$\frac{1}{2}$，+∞）内单调递增，∴${x}^{2}＞\frac{1}{4}$，
则满足m≤x²在（$\frac{1}{2}$，+∞）内恒成立的实数m的取值范围是$m≤\frac{1}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性，考查了利用导数求函数的单调期间，训练了分离变量法，是中档题．