Question

9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c已知cos（A+C）=-$\frac{1}{2}$，且2b²=3c²．
（1）求∠A的大小；
（2）设函数f（x）=1+cos（2x+B）-cos2x，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）已知第一个等式利用诱导公式化简求出cosB的值，确定出B的度数，进而求出sinB的值，第二个等式利用正弦定理化简，把sinB的值代入求出sinC的值，确定出C的度数，进而求出A的度数；
（2）把B的度数代入f（x）解析式，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性求出递增区间即可．

解答 解：（1）∵cos（A+C）=-cosB=-$\frac{1}{2}$，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
把2b²=3c²，利用正弦定理化简得：2sin²B=3sin²C，即sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴C=$\frac{π}{4}$，
则A=$\frac{5π}{12}$；
（2）f（x）=1+cos（2x+$\frac{π}{3}$）-cos2x=1+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x=1-（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=1-cos（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，得到kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
则f（x）的递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．．

点评 此题考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．