Question

19．已知圆C的极坐标方程为ρ²+2ρ（sinθ-cosθ）=2，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=4+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α为倾斜角）．
（1）若圆C上存在两点关于直线l对称，求直线l的斜率；
（2）若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）圆C的极坐标方程为ρ²+2ρ（sinθ-cosθ）=2，化为（x-1）²+（y+1）²=4，可得圆心C（1，-1），半径r=2．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=4+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α为倾斜角）化为y-4=（x-3）tanα，直线l经过定点M（3，4）．由于圆C上存在两点关于直线l对称，因此直线l经过圆心C，利用斜率计算公式即可得出．
（2）设y-4=k（x-3），由于直线l与圆C交于两个不同的点，必须满足圆心C到直线l的距离d=$\frac{|k+1+4-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，解出即可．

解答 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ²+2ρ（sinθ-cosθ）=2，化为x²+y²+2y-2x=2，配方为（x-1）²+（y+1）²=4，可得圆心C（1，-1），半径r=2．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=4+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α为倾斜角）化为y-4=（x-3）tanα，直线l经过定点M（3，4）．
∵圆C上存在两点关于直线l对称，
∴直线l经过圆心C，
∴k_l=k_CM=$\frac{4-（-1）}{3-1}$=$\frac{5}{2}$．
∴直线l的斜率为$\frac{5}{2}$．
（2）设y-4=k（x-3），即kx-y+4-3k=0．
∵直线l与圆C交于两个不同的点，
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{|k+1+4-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，
解得k＞$\frac{21}{20}$．
∴直线l的斜率的取值范围是$（\frac{21}{20}，+∞）$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．