Question

19．设f（x）=e^x（ax²-7x+13），其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与直线l′：2ex-y+e=0平行．
（1）求a的值及切线l方程；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （1）利用导数的运算法则可得：f′（x）=e^x[ax²+（2a-7）x+6]，可得切线l的斜率为f′（1），利用相互平行的斜率之间的关系可得a．再利用点斜式即可得出切线的方程．
（2）分别解出f′（x）≥0，f′（x）＜0，即可得出函数的单调区间、极值．

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x（ax²-7x+13）+e^x（2ax-7）=e^x[ax²+（2a-7）x+6]，
∴切线l的斜率为f′（1）=e（3a-1）．
又l′直线的斜率为2e，且直线l′与切线l平行．
∴e（3a-1）=2e．
即a=1，
∴f（1）=7e，切点为（1，7e），
∴切线l方程为y-7e=2e（x-1），即2ex-y+5e=0．
（2）由（Ⅰ）知a=1，
∴f（x）=e^x（x²-7x+13），
∴f′（x）=e^x（x²-5x+6）=e^x（x-2）（x-3），
由f′（x）≥0，解得x≤2或x≥3，
由f′（x）＜0，解得2＜x＜3，
∴f（x）的增区间为（-∞，2），（3，+∞），减区间为（2，3）．
∴f（x）的极大值为f（2）=3e²，
∴f（x）的极小值为f（3）=e³．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、几何意义、切线的斜率与方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．