Question

18．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F做倾斜角为θ直线AB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．求证：
（1）y₂y₁=-P²，x₂x₁=$\frac{p^2}{4}$；
（2）|AB|=$\frac{2p}{sin^2θ}$=x₁+x₂+P；
（3）|AF|=$\frac{p}{1-cosθ}$=x₁+$\frac{p}{2}$，|BF|=$\frac{p}{1+cosθ}$=x₂+$\frac{p}{2}$；
（4）$\frac{1}{IAFI}$+$\frac{1}{IBFI}$=$\frac{2}{p}$；
（5）以AB为直径的圆与准线相切；
（6）点A、B在准线上的射影分别为M、N，则∠MFN=90°．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的方程为x=my+$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，再利用韦达定理，即可得到结论；
（2）利用抛物线的定义和（1）的结论，表示出x₁+x₂即可；
（3）由抛物线的定义，在直角三角形ACF中，运用余弦函数的定义，即可得到AF的长，同理可得BF的长；
（4）由（3）的结论即可证明；
（5）由于AB的中点到准线的距离等于AC与BD的和的一半，由抛物线的定义，即可判断；
（6）由抛物线的定义和平行线的性质即可证明结论．

解答 证明：如右图所示：设准线为l，准线l与x轴的交点记为K，作AM⊥l、BN⊥l，垂足分别为M、N，
（1）由题意设直线AB的方程为x=my+$\frac{p}{2}$，
代入y²=2px，可得y²-2pmy-p²=0，
所以y₂y₁=-P²，则x₂x₁=$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$•$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（2）∵AB是过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的弦，
∴由抛物线定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p；
由（1）知，y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm，
∴${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=4p²m²+2p²，
则${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=2p（x₁+x₂）=4p²m²+2p²，解得x₁+x₂=2pm²+p，
当θ=90°时，m=0，∴|AB|=2p；
当θ≠90°时，m=$\frac{1}{tanθ}$，|AB|=$\frac{2p}{ta{n}^{2}θ}$+2p=2p（$\frac{1}{ta{n}^{2}θ}$+1）
=2p（$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}+1$）=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$，
当θ=90°时，sinθ=1也适合上式，
∴|AB|=$\frac{2p}{sin^2θ}$=x₁+x₂+P；
（3）由抛物线的定义可得，AF=AM=CK=p+CF=p+AFcosα，
所以|AF|=$\frac{p}{1-cosθ}$=x₁+$\frac{p}{2}$，
同理可得，|BF|=$\frac{p}{1+cosθ}$=x₂+$\frac{p}{2}$；
（4）由（3）可得，$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1-cosθ}{p}$+$\frac{1+cosθ}{p}$=$\frac{2}{p}$；
（5）由于AB的中点到准线的距离等于AC与BD的和的一半，由抛物线的定义，即为AB的一半，
故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；
（6）由抛物线的定义可得，AF=AM，则∠AMF=∠AFM，
∵AM∥KC，∴∠AMF=∠MFK，则∠MFK=∠AFM，
同理可证，∠NFK=∠BFN，
∵∠MFK+∠AFM+∠NFK+∠BFN=180°，
∴MFN=90°．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理求解，以及平面几何知识，属于中档题．