Question

17．已知函数f（x）=$\frac{2}{x}$+alnx-2（a∈R）．
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）与x轴有两个不同的交点，求b的取值范围；
（3）若函数f（x）在区间[e^-1，e]上的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间；
（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．求出函数g（x）的导数，求出函数的最小值即可求b的取值范围；
（3）求出函数的导数，根据函数在闭区间上的最小值，讨论a的取值范围，即可得到结论．

解答 解：（1）当a=2时，$f（x）=\frac{2}{x}+2lnx-2$，f（x）的定义域为（0，+∞）$f'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{2（x-1）}{x^2}$．…（1分）
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．                …（4分）
（2）当a=1时，$g（x）=\frac{2}{x}+lnx+x-2-b$，则$g'（x）=\frac{{{x^2}+x-2}}{x^2}$．
由g'（x）＞0解得：x＞1；由g'（x）＜0解得：0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
∴当x=1时，g（x）取最小值，且g（x）_min=g（1）=1-b．   …（6分）
∵当a=1时，函数g（x）与x轴有两个不同的交点
∴g（x）_min=1-b＜0，即b＞1．
∴实数b的取值范围为（1，+∞）．                           …（8分）
（3）由题意，$f'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{a}{x}=\frac{ax-2}{x^2}$（x＞0）．
①若a≤0，则f'（x）≤0，f（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上单调递减；
∴$f{（x）_{min}}=f（e）=\frac{2}{e}+a-2=-2$，即$a=-\frac{2}{e}$，适合题意．…（10分）
②若$0＜\frac{2}{a}≤\frac{1}{e}$，即a≥2e，则f'（x）＞0，f（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上单调递增；
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{e}）=2e-a-2=-2$，即a=2e，适合题意．…（12分）
③若$\frac{1}{e}＜\frac{2}{a}＜e$，即$\frac{2}{e}＜a＜2e$，则f（x）在$[{\frac{1}{e}，\frac{2}{a}}]$上单调递减，在$[{\frac{2}{a}，e}]$上单调递增；
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{2}{a}）=a+aln\frac{2}{a}-2=-2$，即a=2e（舍）．…（14分）
④若$\frac{2}{a}≥e$，即$0＜a≤\frac{2}{e}$，f（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上单调递减；
∴$f{（x）_{min}}=f（e）=\frac{2}{e}+a-2=-2$，即$a=-\frac{2}{e}$，不合题意．
综上所述，a=2e或$a=-\frac{2}{e}$．                         …（16分）

点评 本题主要考查导数的综合应用，利用函数单调性，最值和极值和导数之间的关系是解决本题的关键．