Question

1．已知f（x）=-$\frac{1}{2}a{x^2}$+x-ln（1+x），其中a＞0．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，直接利用函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求解即可．
（Ⅱ）令f′（x）=0，求出极值点，①当0＜a＜1时，②当a=1时，③当a＞1时，分别判断函数的单调性求解单调区间．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（$\frac{1}{a}$-1），判断0＜a＜1是否满足题意，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，推出f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，求解a的取值范围即可．

解答 （本小题共13分）
解：（Ⅰ）由题意得f′（x）=$\frac{{-ax}^{2}-（a-1）x}{x+1}$，x∈（-1，+∞），
由f′（3）=0⇒a=$\frac{1}{4}$．                                           …（3分）
（Ⅱ）令f′（x）=0⇒x₁=0，x₂=$\frac{1}{a}$-1，
①当0＜a＜1时，x₁＜x₂，
f（x）与f′（x）的变化情况如下表

x	（-1，0）	0	（0，$\frac{1}{a}$-1）	$\frac{1}{a}$-1	（$\frac{1}{a}$-1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（0）	↗	f（$\frac{1}{a}$-1）	↘

∴f（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{a}$-1），
f（x）的单调递减区间是（-1，0）和（$\frac{1}{a}$-1，+∞）；
②当a=1时，f（x）的单调递减区间是（-1，+∞）；
③当a＞1时，-1＜x₂＜0
f（x）与f′（x）的变化情况如下表

x	（-1，$\frac{1}{a}$-1）	$\frac{1}{a}$-1	（$\frac{1}{a}$-1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（$\frac{1}{a}$-1）	↗	f（0）	↘

∴f（x）的单调递增区间是（$\frac{1}{a}$-1，0），
f（x）的单调递减区间是（-1，$\frac{1}{a}$-1）和（0，+∞）．
综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{a}$-1）．
f（x）的单调递减区间是（-1，0），（$\frac{1}{a}$-1，+∞），
当a＞1，f（x）的单调递增区间是（$\frac{1}{a}$-1，0）．
f（x）的单调递减区间是（-1，$\frac{1}{a}$-1），（0，+∞）．
当a=1时，f（x）的单调递减区间为（-1，+∞）．               …（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（$\frac{1}{a}$-1），
但f（$\frac{1}{a}$-1）＞f（0）=0，所以0＜a＜1不合题意，
当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
由f（x）≤f（0）可得f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意，
∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是a≥1．                   …（13分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性的判断，函数的最值，考查分类分析问题解决问题的能力，分类讨论以及转化思想的应用．