Question

6．若函数f（x）=2x³-3mx²+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，2]
• C． （-∞，$\frac{5}{2}$）
• D． （-∞，$\frac{5}{2}$]

Answer 1

分析 先求f′（x）=6x²-6mx+6，根据题意可知f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，可设g（x）=6x²-6mx+6，所以讨论△的取值，从而判断g（x）≥0是否在（2，+∞）上恒成立：△≤0时，容易求出-2≤m≤2，显然满足g（x）≥0；△＜0时，m需要满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}＜2}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可．

解答 解：f′（x）=6x²-6mx+6；
由已知条件知x∈（2，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；
设g（x）=6x²-6mx+6，则g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；
∴（1）若△=36（m²-4）≤0，即-2≤m≤2，满足g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；
（2）若△=36（m²-4）＞0，即m＜-2，或m＞2，则需：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}＜2}\\{g（2）=30-12m≥0}\end{array}\right.$；
解得$m≤\frac{5}{2}$；
∴$m＜-2，或2＜m≤\frac{5}{2}$；
∴综上得$m≤\frac{5}{2}$；
∴实数m的取值范围是（-∞，$\frac{5}{2}$]．
故选D．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式△的取值情况和二次函数取值的关系．