Question

17．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₆=S₃=6
（1）求a_n和S_n
（2）数列{b_n}满足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{2n-1}-λ{S}_{2n-3，}n≥2}\end{array}\right.$，若b₁，b₂，b₅成等比数列，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）数列{b_n}满足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{2n-1}-λ{S}_{2n-3，}n≥2}\end{array}\right.$，可得b₁，b₂，b₅．由b₁，b₂，b₅成等比数列，可得${b}_{2}^{2}$=b₁•b₅，解出即可．

解答 解：（1）设等差数列的公差为d，∵a₆=S₃=6，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+5d=6}\\{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+（n-1）=n，${S}_{n}=\frac{n（1+n）}{2}$．
（2）∵数列{b_n}满足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{2n-1}-λ{S}_{2n-3，}n≥2}\end{array}\right.$，
∴b₁=S₁=a₁=1，
b₂=S₃-λS₁=$\frac{3×（1+3）}{2}$-λ=6-λ；
b₅=S₉-λS₇=$\frac{9×（1+9）}{2}$-$λ×\frac{7×（1+7）}{2}$=45-28λ．
∵b₁，b₂，b₅成等比数列，
∴${b}_{2}^{2}$=b₁•b₅，
∴（6-λ）²=1×（45-28λ），
化为λ²+16λ-9=0，
解得λ=$-8±\sqrt{73}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．