Question

7．设a、b、c分别表示△ABC的内角A、B、C的对边，若a²-b²=$\sqrt{3}$bc，sinC=2$\sqrt{3}$sinB，则∠A=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 sinC=2$\sqrt{3}$sinB，由正弦定理可得c=$2\sqrt{3}$b，由a²-b²=$\sqrt{3}$bc，代入解得$a=\sqrt{7}$b，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：∵sinC=2$\sqrt{3}$sinB，由正弦定理可得c=$2\sqrt{3}$b，
∵a²-b²=$\sqrt{3}$bc，
∴a²-b²=$\sqrt{3}$b×$2\sqrt{3}$b，解得$a=\sqrt{7}$b，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+12{b}^{2}-7{b}^{2}}{2b•2\sqrt{3}b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．