Question

15．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≤3}\\{x-y-2≤0}\\{3x-2y-6≥0}\end{array}\right.$则$\frac{y-2}{x-y}$的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，1]
• B． （-∞，-1]∪[1，+∞）
• C． [-1，1]
• D． [-1，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 利用方式函数的性质将目标函数进行化简，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：$\frac{y-2}{x-y}$=$\frac{1}{\frac{x-y}{y-2}}$=$\frac{1}{\frac{x-（y-2）-2}{y-2}}$=$\frac{1}{\frac{x-2}{y-2}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{\frac{y-2}{x-2}}-1}$，
设k=$\frac{y-2}{x-2}$，则k的几何意义为区域内的点到D（2，2）的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则AD的斜率最大，由$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{3x-2y-6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（4，3），
此时AD的斜率最大，为k=$\frac{3-2}{4-2}=\frac{1}{2}$，即k≤$\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{k}$≥2或$\frac{1}{k}$＜0，
则$\frac{1}{k}$-1≥1或$\frac{1}{k}$-1＜-1，
0＜$\frac{1}{\frac{1}{k}-1}$≤1或-1＜$\frac{1}{\frac{1}{k}-1}$＜0，
即0＜$\frac{y-2}{x-y}$≤1或-1＜$\frac{y-2}{x-y}$＜0，
当y=2时，$\frac{y-2}{x-y}$=0，
当x=2，y=0，对应的$\frac{y-2}{x-y}$=$\frac{0-2}{2-0}=-1$，
综上-1≤$\frac{y-2}{x-y}$≤1，
故选：C

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据分式函数的性质将目标函数进行分解是解决本题的关键．难度较大．