Question

20．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sin$\frac{α}{2}$，cosα），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{α}{2}$，-$\frac{1}{2}$），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$，α为锐角
（Ⅰ）求角α的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）=cos2x+4cosαsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用化简已知可得：sin（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，又α为锐角，即可求得α的值．
（Ⅱ）化简可得：f（x）=-2sin²x+2sinx+1，令t=sinx，则y=-2t²+2t+1（-1≤t≤1），由二次函数的图象即可求函数f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）由平面向量数量积的运算可得：$\sqrt{3}$cos$\frac{α}{2}$sin$\frac{α}{2}$-$\frac{1}{2}$cosα=$\frac{1}{2}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα=\frac{1}{2}$，
所以sin（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又因为α为锐角，所以α=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）f（x）=cos2x+2sinx=-2sin²x+2sinx+1，令t=sinx，
则y=-2t²+2t+1（-1≤t≤1），
由二次函数的图象可知：当t=$\frac{1}{2}$时，y_max=$\frac{3}{2}$，当t=-1时，y_min=-3，
所以函数f（x）的值域为[-3，$\frac{3}{2}$]…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，二次函数的图象和性质，考查了函数值域的求法，转化思想，属于中档题．