Question

5．底面是同-个边长为a的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面，球的半径为R，设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分別为α、β，则tan（α+β）的值为$-\frac{{4\sqrt{3}R}}{3a}$．

Answer 1

分析 由题意画出图象以及过球心的截面圆，由球和正三棱锥的几何特征可得：两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，再求出涉及的线段的长度，根据两角和的正切函数和正切函数的定义求出tan（α+β）的值．

解答 解：由题意画出图象如下图：

由图得，右侧为该球过SA和球心的截面，由于三角形ABC为正三角形，
所以D为BC中点，且AD⊥BC，SD⊥BC，MD⊥BC，
故∠SDA=α，∠MDA=β．
设SM∩平面ABC=P，则点P为三角形ABC的重心，且点P在AD上，SM=2R，AB=a，
∴$AD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，PA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a，PD=\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$，
因此$tan（α+β）=\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}=\frac{{\frac{SP}{PD}+\frac{MP}{PD}}}{{1-\frac{SP}{PD}•\frac{MP}{PD}}}=\frac{PD•SM}{{P{D^2}-SP•MP}}=\frac{PD•SM}{{P{D^2}-P{A^2}}}$
=$\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{6}a•2R}}{{\frac{a^2}{12}-\frac{a^2}{3}}}=-\frac{{4\sqrt{3}}}{3a}R$，
故答案为：$-\frac{4\sqrt{3}}{3a}R$．

点评 本题通过对球的内接几何体的特征考查利用两角和的正切函数的进行计算，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题．