Question

14．设复数z满足|z+$\frac{1}{z}$|≤2，则|z|的取值范围是（0，1]．

Answer 1

分析 设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、模的计算公式把|z+$\frac{1}{z}$|≤2，化为a²+b²≤1，即可得出．

解答 解：设z=a+bi（a，b∈R），
∴|z+$\frac{1}{z}$|=$|a+bi+\frac{1}{a+bi}|$=$|（a+\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}）+（b-\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}）i|$≤2，
∴$\sqrt{（a+\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}）^{2}+（b-\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+1}$≤2，
解得a²+b²≤1，
∴|z|的取值范围是（0，1]．
故答案为：（0，1]．

点评 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．