Question

8．已知x＞1，y＞1，log₂x+log₂y=log₂（x+y），log₂x+log₂y+log₂z=log₂（x+y+z），则z的范围为（　　）

• A． [1，$\frac{4}{3}$）
• B． （1，$\frac{4}{3}$）
• C． （1，$\frac{4}{3}$]
• D． [--$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 由题意可得xy=x+y，xyz=x+y+z，进而由基本不等式可得xy≥4，变形可得z=1+$\frac{1}{xy-1}$，由不等式的性质可得取值范围．

解答 解：由题意可得log₂xy=log₂（x+y），log₂xyz=log₂（x+y+z），
∴xy=x+y，xyz=x+y+z，
由xy=x+y≥2$\sqrt{xy}$可解得xy≥4，
当且仅当x=y=2时取等号，∴xy≥4，
由xyz=x+y+z可得z=$\frac{xy}{xy-1}$=$\frac{xy-1+1}{xy-1}$=1+$\frac{1}{xy-1}$，
∵xy≥4，∴xy-1≥3，∴0＜$\frac{1}{xy-1}$≤$\frac{1}{3}$，
∴1＜1+$\frac{1}{xy-1}$≤$\frac{4}{3}$，
故选：C

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及对数的运算和不等式的性质，属中档题．