Question

19．已知向量$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（3，-6）$，若向量$\overrightarrow c$满足$\overrightarrow c$与$\overrightarrow b$的夹角为120°，$\overrightarrow c•（4\overrightarrow a+\overrightarrow b）=5$，则$|{\overrightarrow c}|$=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{5}$

Answer 1

分析 运用坐标求解，$\overrightarrow{c}$=（x，y），得出x-2y=-5，根据夹角公式得出$-\frac{1}{2}$=$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow{b}|}$，即$-\frac{1}{2}$=$\frac{3x-6y}{3\sqrt{5}×\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，整体代入整体求解即可得出$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．选择答案．

解答 解：设$\overrightarrow{c}$=（x，y）
∵$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（3，-6）$，
∴4$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$=（-1，2），|4$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow{b}|}$
∵$\overrightarrow c•（4\overrightarrow a+\overrightarrow b）=5$，
∴-x+2y=5，
即x-2y=-5，
∵向量$\overrightarrow c$满足$\overrightarrow c$与$\overrightarrow b$的夹角为120°
∴$-\frac{1}{2}$=$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow{b}|}$，
即$-\frac{1}{2}$=$\frac{3x-6y}{3\sqrt{5}×\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，
∵$-\frac{1}{2}$=$\frac{3×（-5）}{3\sqrt{5}×\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，
故选：D．

点评 本题综合考查了平面向量的数量积的运算，运用坐标求解数量积，夹角，模，难度不大，计算准确即可完成题目．