Question

4．（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a³+b³＞a²b+ab²；
（2）已知a，b，c都是正数，求证：$\frac{{{a^2}{b^2}+{b^2}{c^2}+{c^2}{a^2}}}{a+b+c}$≥abc．

Answer 1

分析 （1）由条件a≠b推出：a²-2ab+b²＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论；
（2）利用基本不等式，再相加，即可证明结论．

解答 证明：（1）∵a≠b，∴a-b≠0，∴a²-2ab+b²＞0，∴a²-ab+b²＞ab．
而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）
∴a³+b³＞a²b+ab² 成立；
（2）∵a，b，c都是正数，
∴a²b²+b²c²≥2acb²，a²b²+c²a²≥2bca²，c²a²+b²c²≥2abc²，
三式相加可得2（a²b²+b²c²+c²a²）≥2abc（a+b+c），
∴a²b²+b²c²+c²a²）≥abc（a+b+c），
∴$\frac{{{a^2}{b^2}+{b^2}{c^2}+{c^2}{a^2}}}{a+b+c}$≥abc．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查综合法，属于中档题．