Question

2．在三棱锥P-ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=$\sqrt{2}$，PB=PC=$\sqrt{3}$，平面ABC⊥平面PBC，若点P、A、B、C都在同一球面上，则该球的半径等于1．

Answer 1

分析 由于PB=PC=$\sqrt{3}$，取BC的中点为O'，则PO'⊥BC，运用面面垂直的性质定理，可得PO'⊥平面ABC，即有O在PO'上，运用勾股定理计算即可得到球的半径．

解答 解：由于PB=PC=$\sqrt{3}$，取BC的中点为O'，
则PO'⊥BC，
由于平面ABC⊥平面PBC，
即有PO'⊥平面ABC，
在△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$，
在△PBC中，PB=PC=BC=$\sqrt{3}$，
PO'=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
设球心为O，则O在PO'上，
设球的半径为R，
则在直角△PAO'中，AO²=OO'²+AO'²，
R²=（$\frac{3}{2}$-R）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²，
解得R=1．
故答案为：1．

点评 本题考查面面垂直的性质定理和球的截面的性质的运用，熟记这些定理是解题的关键．