Question

12．已知抛物线C：y=2x²，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．
（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M，N的坐标，再由y=2x²的导数，可得在点N处的切线斜率，由两直线平行的条件即可得证；
（2）假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．由于M是AB的中点，则|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|，运用弦长公式计算化简整理，即可求得k=±2，故存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．

解答 （1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0，
得x₁+x₂=$\frac{k}{2}$．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵x_N=x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{k}{4}$，∴N点的坐标为（$\frac{k}{4}$，$\frac{{k}^{2}}{8}$）．　　　　　
∵y′=4x，∴y′|${\;}_{x=\frac{k}{4}}^{\;}$=k，
即抛物线在点N处的切线的斜率为k．　　　　　　　　　　　　
∵直线l：y=kx+2的斜率为k，
∴l∥AB；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）解：假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．
由于M是AB的中点，∴|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|．　　　　　　　　　　　　
由（Ⅰ）知y_M=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{1}{2}$（kx₁+2+kx₂+2）
=$\frac{1}{2}$[k（x₁+x₂）+4]=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{{k}^{2}}{2}$）=2+$\frac{{k}^{2}}{4}$，
由MN⊥x轴，则|MN|=|y_M-y_N|=2+$\frac{{k}^{2}}{4}$-$\frac{{k}^{2}}{8}$=$\frac{{k}^{2}+16}{8}$，
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$　　　　　　　　　　
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{4}-4×（-1）}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16+{k}^{2}}$
由$\frac{16+{k}^{2}}{8}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16+{k}^{2}}$
∴k=±2，
则存在实数k=±2，使AB为直径的圆M经过点N．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义和两直线平行的条件，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．