Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b²+c²-a²=bc，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}＞0$，$a=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则b+c的取值范围是（　　）

• A． $（{1，\frac{3}{2}}）$
• B． $（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$

Answer 1

分析 由余弦定理可得A=$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$＜B＜$\frac{2π}{3}$，再由正弦定理可得b+c=sinB+sinC=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），由B的范围和三角函数的值域可得．

解答 解：由题意可得b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$，
又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}＞0$，∴B为钝角，
∵$\frac{π}{3}$+B+C=π，∴C=$\frac{2π}{3}$-B，
∴$\frac{π}{2}$＜B＜$\frac{2π}{3}$
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=1=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{2}$＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{2π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{3}{2}$，
故选：B

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角函数的值域，属中档题．