Question

16．设函数f（x）=|x|+|2x-a|．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥a²对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）由f（x）≥a²对任意x∈R恒成立等价于|k|+|2k-1|≥|a|对任意k∈R恒成立，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-3x，x≤0\\ 1-x，0＜x≤\frac{1}{2}\\ 3x-1，x＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$…（3分）
根据图易得f（x）≤1的解集为$\{x|0≤x≤\frac{2}{3}\}$…（5分）
（Ⅱ）令x=ka（k∈R），
由f（x）≥a²对任意x∈R恒成立等价于|k|+|2k-1|≥|a|对任意k∈R恒成立…（6分）
由（1）知|k|+|2k-1|的最小值为$\frac{1}{2}$，所以$|a|≤\frac{1}{2}$…（8分）
故实数a的取值范围为$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}$…（10分）

点评 本题主要考查函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．