Question

11．已知函数f（x）=ax+ln（x-1），其中a为常数．
（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=$\frac{1}{1-e}$时，存在x使得不等式|f（x）|-$\frac{e}{e-1}$≤$\frac{2lnx+bx}{2x}$成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求函数f（x）的定义域及f′（x）=$\frac{ax-a+1}{x-1}$，再分a≥0时、a＜0时两种情况考虑即可；
（Ⅱ）由（I）可得f（x）_max=$\frac{e}{1-e}$+ln（e-1）＜0，令$g（x）=\frac{2lnx+bx}{2x}$，求出g（x）的单调区间，从而可得g（x）_max=g（e）=$\frac{1}{e}+\frac{b}{2}$，所以原不等式成立只需$\frac{e}{e-1}-ln（e-1）$-$\frac{e}{e-1}$≤$\frac{1}{e}+\frac{b}{2}$，解之即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知易得函数f（x）的定义域为：{x|x＞1}，
f′（x）=a+$\frac{1}{x-1}$=$\frac{ax-a+1}{x-1}$，
当a≥0时，f′（x）＞0在定义域内恒成立，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），
当a＜0时，由f′（x）=0得x=1-$\frac{1}{a}＞1$，
当x∈（1，1-$\frac{1}{a}$）时，f′（x）＞0，
当x∈（1-$\frac{1}{a}$，+∞）时，f′（x）＜0，
f（x）的单调递增区间为（1，1-$\frac{1}{a}$），递减区间为（1-$\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅱ）由（I）知当a=$\frac{1}{1-e}$时，f（x）=$\frac{1}{1-e}$x+ln（x-1），
且f（x）的单调增区间为（1，e），单调减区间为（e，+∞），
所以f（x）_max=f（e）=$\frac{e}{1-e}$+ln（e-1）＜0，
所以|f（x）|≥-f（e）=$\frac{e}{e-1}-ln（e-1）$恒成立，（当x=e时取等号）
令$g（x）=\frac{2lnx+bx}{2x}$，则$g′（x）=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当1＜x＜e时，g（x）＞0；当x＞e时，g（x）＜0，
从而g（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，
所以g（x）_max=g（e）=$\frac{1}{e}+\frac{b}{2}$，
所以，存在x使得不等式|f（x）|-$\frac{e}{e-1}$≤$\frac{2lnx+bx}{2x}$成立，
只需$\frac{e}{e-1}-ln（e-1）$-$\frac{e}{e-1}$≤$\frac{1}{e}+\frac{b}{2}$，
即：b≥$-\frac{2}{e}$-2ln（e-1）．

点评 本题主要考查函数的单调性及与不等式的综合，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究不等式时一定要先确定函数的单调性才能求解．