Question

19．已知数列{a_n}的奇函数和偶数项分别为公差3d和d（d≠0）的等数数列，已知a₁=1，a₂=2，且存在不相等的正整数m、n使得a_m=a_n，则当d最大时，数列{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}．n为奇数}\\{\frac{n}{2}+1，n为偶数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 若d₁=3d₂（d₁≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a_m=a_n，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数．不妨设m为奇数，n为偶数，利用a_m=a_n，d=$\frac{6}{3m-n-1}$，从而可求当d最大时，数列{a_n}的通项公式．

解答 解：若存在正整数m、n（m≠n），使得a_m=a_n，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数
不妨设m为奇数，n为偶数
∵a_m=a_n，∴1+$\frac{m-1}{2}×3d$=2+（$\frac{n}{2}$-1）d，
∴d=$\frac{6}{3m-n-1}$
∵m为奇数，n为偶数，∴3m-n-1的最小正值为2，此时d=3，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}．n为奇数}\\{\frac{n}{2}+1，n为偶数}\end{array}\right.$．
故答案为：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}．n为奇数}\\{\frac{n}{2}+1，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的公差是关键．