Question

8．已知梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，且∠ABC=90°，以AC为折痕使得折叠后的图形中平面DAC⊥ABC．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求四面体ABCD的外接球的体积；
（3）在棱AD上是否存在点P，使得AD⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点E，连CE，证明DC⊥AC，即可证明DC⊥平面ABC；
（2）确定四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点E，即可求四面体ABCD的外接球的体积；
（3）利用反证法判断在棱AD上是否存在点P，使得AD⊥平面PBC．

解答 （1）证明：取AD的中点E，连CE，由条件可知四边形ABCE是正方形，
三角形CED是等腰直角三角形，∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=45°+45°=90°
即DC⊥AC…（2分）
∵平面DAC⊥平面ABC，∴DC⊥平面ABC…（4分）
（2）解：∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB
又∵AB⊥BC，BC∩DC=C，
∴AB⊥平面DBC，∴AB⊥DB，
即∠ABD=∠ACD=90°，∴四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点E…（6分）
即四面体ABCD的外接球的半径R=1，故四面体ABCD的外接球的体积为$\frac{4π}{3}$…（8分）
（3）解：若在棱AD上存在点P，使得AD⊥平面PBC，则AD⊥BC，
又DC⊥平面ABC，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面ADC…（10分）
从而BC⊥AC，这与∠ACB=45°矛盾
所以在棱AD上不存在点P，使得AD⊥平面PBC…（12分）

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定，考查四面体ABCD的外接球的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．