Question

18．定义在R上的奇函数f（x）满足f（4-x）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=$\sqrt{\frac{x}{2}}$，又g（x）=cos$\frac{πx}{4}$，则方程f（x）=g（x）在区间[-4，4]上的所有解的和为-2．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）是周期为8的奇函数，g（x）是周期为8的偶函数，作出图象可得交点坐标，相加可得．

解答 解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（4-x）=f（x），
∴f（x）=f（4-x）=-f（x-4），∴f（x-4）=-f（x），
∴f（x-8）=f（x-4-4）=-f（x-4）=f（x），
∴函数f（x）是周期为8的奇函数，
∵x∈[0，2]时，f（x）=$\sqrt{\frac{x}{2}}$，
函数g（x）=cos$\frac{πx}{4}$是周期为T=$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8的偶函数，
在同一个坐标系作出它们的图象，其中红色为f（x）的图象，
可得x₁=1，x₂=-3，
∴方程f（x）=g（x）在区间[-4，4]上的所有解的和为-2
故答案为：-2

点评 本题考查函数的奇偶性和周期性，涉及数形结合的思想，属中档题．