Question

10．设向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cos2x），$\overrightarrow{b}$=（sin2x，cosx）．
（1）设$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b+sinx$，当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，求f（x）的取值范围；
（2）构建两个集合A={sinx，cos2x}，B={sin2x，cosx}，若集合A=B，求满足条件的x的值．

Answer 1

分析 （1）由向量和三角函数的知识可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由x的范围可得；
（2）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{sinx=sin2x}\\{cos2x=cosx}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinx=cosx}\\{cos2x=sin2x}\end{array}\right.$，分别可得x=2kπ，k∈Z和x∈∅，综合可得．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，cos2x），$\overrightarrow{b}$=（sin2x，cosx）．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sinxsin2x+cos2xcosx=cos（2x-x）=cosx，
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b+sinx$=cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）
∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$，∴x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴f（x）的取值范围为（1，$\sqrt{2}$]；
（2）∵集合A={sinx，cos2x}，B={sin2x，cosx}且集合A=B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinx=sin2x}\\{cos2x=cosx}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinx=cosx}\\{cos2x=sin2x}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{sinx=sin2x}\\{cos2x=cosx}\end{array}\right.$时，可得x=2kπ，k∈Z；
当$\left\{\begin{array}{l}{sinx=cosx}\\{cos2x=sin2x}\end{array}\right.$时，x∈∅，
综上，满足条件的实数x=2kπ，k∈Z

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的值域，属中档题．