Question

15．端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S-EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合，F与F′重合，G与G′重合，H与H′重合（如图所示）．
（Ⅰ）求证：平面SEG⊥平面SFH；
（Ⅱ）当AE=$\frac{5}{2}$时，求二面角E-SH-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，从而EG⊥FH，EG⊥FH，EG⊥SO，由此能证明平面SEG⊥平面SFH．
（Ⅱ）过O作OM⊥SH交SH于M点，连EM，证明∠EMO为二面角E-SH-F的平面角，即可求得结论．

解答 （1）证明：∵折后A，B，C，D重合于一点O，
∴拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，
∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面图形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，
∴SE=SG，∴EG⊥SO，
又∵SO、FH?平面SFH，SO∩FH=O，
∴EC⊥平面SFH，
又∵EG?平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．…（6分）
（Ⅱ）解：过O作OM⊥SH交SH于M点，连EM，
∵EO⊥平面SFH，
∴EO⊥SH，
∴SH⊥面EMO，
∴∠EMO为二面角E-SH-F的平面角．…（8分）
当AE=$\frac{5}{2}$时，即OE=$\frac{5}{2}$
Rt△SHO中，SO=5，SH=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，∴OM=$\frac{SO•OH}{SH}$=$\sqrt{5}$，
Rt△EMO中，EM=$\sqrt{E{O}^{2}+O{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴cos∠EMO=$\frac{OM}{EM}$=$\frac{2}{3}$，
∴所求二面角的余弦值为$\frac{2}{3}$．                               …（12分）

点评 本小题考查空间中直线与平面的位置关系、二面角的余弦值等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．