Question

3．已知0°＜α＜45°，且lg（tanα）-lg（sinα）=lg（cosα）-lg（$\frac{1}{tanα}$）+2lg3-$\frac{3}{2}$lg2，则cos³α-sin³α=$\frac{16\sqrt{2}-1}{27}$．．

Answer 1

分析 由已知及对数的运算性质可得sinαcosα=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$，从而可求（sinα-cosα）²的值，结合α的范围即可求出cosα-sinα的值，由立方差公式即可求解．

解答 解：lg（tanα）-lg（sinα）=lg（cosα）-lg（$\frac{1}{tanα}$）+2lg3-$\frac{3}{2}$lg2，
⇒lg$\frac{tanα}{sinα}$=lgsinα+lg$\frac{9}{\sqrt{8}}$，
⇒sinαcosα=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$，
⇒（sinα-cosα）²=sin²α+cos²α-2sinαcosα=1-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
⇒（sinα-cosα）=$\frac{9-4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{8-2\sqrt{2}+1}{9}$=$\frac{（2\sqrt{2}-1）^{2}}{{3}^{2}}$，
∵0＜α＜45°，
∴sinα-cosα＜0，
∴sinα-cosα=-$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$，即 cosα-sinα=$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$，
∴cos³α-sin³α=（cosα-sinα）（1+sinαcosα）=$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$×（1+$\frac{2\sqrt{2}}{9}$）=$\frac{16\sqrt{2}-1}{27}$．
故答案为：$\frac{16\sqrt{2}-1}{27}$．

点评 此题考查了对数的运算性质，立方差公式，同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基本知识的考查．