Question

13．已知抛物线C：x²=4y和直线l：y=-2，直线l与y轴的交点为D，过点Q（0，2）的直线交抛物线C于A，B两点，与直线l交于点P．
（1）记△DAB的面积为S，求S的取值范围；
（2）设$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{QB}$，$\overrightarrow{AP}$=μ$\overrightarrow{PB}$，求λ+μ的值．

Answer 1

分析 （1）显然直线AB斜率k存在，且k≠0，设直线AB方程y=kx+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立抛物线方程，运用韦达定理，弦长公式，由三角形的面积公式计算即可得到；
（2）设P（x₀，-2），运用向量的共线坐标表示，可得λ=$\frac{2-{y}_{1}}{{y}_{2}-2}$，同理μ=$\frac{-2-{y}_{1}}{{y}_{2}+2}$，计算化简即可求得λ+μ的值为0．

解答 解：（1）显然直线AB斜率k存在，且k≠0，
设直线AB方程y=kx+2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$得x²-4kx-8=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{△=16{k}^{2}+32＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=4k}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-8}\end{array}\right.$，
所以|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{△}}{|a|}$
=$\sqrt{16{k}^{2}+32}$，
所以S=$\frac{1}{2}$|QD|•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}×4$$\sqrt{16{k}^{2}+32}$＞8$\sqrt{2}$；
（2）设P（x₀，-2），
则由（Ⅰ）可知$\overrightarrow{AQ}$=（-x₁，2-x₁），$\overrightarrow{QB}$=（x₂，y₂-2），
所以λ=$\frac{2-{y}_{1}}{{y}_{2}-2}$，
同理μ=$\frac{-2-{y}_{1}}{{y}_{2}+2}$，
又y₁y₂=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$•$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}{16}$=4，
故λ+μ=$\frac{2-{y}_{1}}{{y}_{2}-2}$+$\frac{-2-{y}_{1}}{{y}_{2}+2}$=2×$\frac{4-{y}_{1}{y}_{2}}{{{y}_{2}}^{2}-4}$=0，
因此λ+μ的值为0．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，属于中档题．