Question

4．已知抛物线C；y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，抛物线上的点M（3，y）（y＞0）到焦点的距离|MF|=4
（1）求p和点M的坐标；
（2）过点M作准线的垂线MN，垂足为N，设直线m为线段FN的垂直平分线，证明直线m与抛物线有且只有一个公共点．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得3+$\frac{p}{2}$=4，求得p=2，进而得到抛物线方程，代入M的坐标，可得y，进而得到M的坐标；
（2）求得N的坐标和F的坐标，运用中点坐标公式和直线的斜率公式，以及直线垂直的条件，即可得到直线m的方程，联立抛物线方程，即可解得交点，进而可得结论．

解答 （1）解：抛物线C；y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），准线为l：x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可得，|MF|=3+$\frac{p}{2}$=4，
解得p=2，即有抛物线的方程为y²=4x，
将x=3代入抛物线方程，可得y=2$\sqrt{3}$（负值舍去），
即有p=2，M（3，2$\sqrt{3}$）；
（2）证明：由（1）可得N（-1，2$\sqrt{3}$），F（1，0），
则FN的中点为（0，$\sqrt{3}$），k_NF=$\frac{2\sqrt{3}}{-2}$=-$\sqrt{3}$，
即有直线m的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
代入抛物线方程，可得x²-6x+9=0，
解得x=3，y=2$\sqrt{3}$，
则直线m与抛物线有且只有一个交点（3，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义的运用，同时考查两直线垂直的条件和中点坐标公式，注意联立直线和抛物线方程求交点，属于中档题．