Question

14．f（x）=[ax²+（a-1）²x-a²+3a-1]e^x（a∈R）．若f（x）在（2，3）上单调递增，求实数a取值范围．

Answer 1

分析 先求f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x，所以若f（x）在（2，3）上单调递增，则f′（x）≥0在（2，3）上恒成立，所以可设g（x）=ax²+（a²+1）x+a，则g（x）≥0在（2，3）上恒成立，所以讨论a的取值，结合二次函数的图象即可求出每种情况下的a的取值，然后求并集即可．

解答 解：f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x；
∵f（x）在（2，3）上单调递增，e^x＞0；
∴ax²+（a²+1）x+a≥0在（2，3）上恒成立；
（1）若a=0，x≥0在（2，3）上恒成立；
（2）若a≠0，设g（x）=ax²+（a²+1）x+a，该函数为二次函数，则：△=（a²-1）²；
∴①a=1时，△=0，满足g（x）≥0恒成立；
②a=-1时，△=0，不满足g（x）≥0在（2，3）上恒成立，即a≠-1；
③a＞1时，△＞0，要使g（x）≥0在（2，3）上恒成立，则：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}^{2}+1}{2a}＜2}\\{g（2）=2{a}^{2}+5a+2≥0}\end{array}\right.$；
而上面不等式组a＞1时恒成立；
④a＜-1时，△＞0，要使g（x）≥0在（2，3）上恒成立，则：
$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=2{a}^{2}+5a+2≥0}\\{g（3）=3{a}^{2}+10a+3≥0}\end{array}\right.$；
解得a≤-3；
∴此时a≤-3．
∴综上得实数a的取值范围为{a|a≥1，或a≤-3，或a=0}．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及二次函数f（x）≥0时需满足的条件，并且对二次函数图象要熟练掌握．