Question

10．已知x＞0，y＞0，且$\frac{3}{2+x}$+$\frac{3}{2+y}$=1，则xy的最小值为2$\sqrt{5}$+6．

Answer 1

分析 由已知式子可得y=$\frac{x+4}{x-1}$且x-1＞0，代入变形可得xy=（x-1）+$\frac{5}{x-1}$+6，由基本不等式可得．

解答 解：x＞0，y＞0，且$\frac{3}{2+x}$+$\frac{3}{2+y}$=1，
∴$\frac{3}{2+y}$=1-$\frac{3}{2+x}$，∴y=$\frac{x+4}{x-1}$，
由y=$\frac{x+4}{x-1}$＞0可得x-1＞0，
∴xy=$\frac{x（x+4）}{x-1}$=$\frac{（x-1）^{2}+6（x-1）+5}{x-1}$
=（x-1）+$\frac{5}{x-1}$+6≥2$\sqrt{5}$+6，
当且仅当（x-1）=$\frac{5}{x-1}$即x=$\sqrt{5}$+1时取等号，
∴xy的最小值为2$\sqrt{5}$+6，
故答案为：2$\sqrt{5}$+6

点评 本题考查基本不等式，消元并凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．