Question

5．已知点M（1，1）是抛物线C上的一点，其焦点F在x轴上，顶点为坐标原点，动弦MP、MQ分别交x轴于A、B两点，且MA=MB
（1）求抛物线C的方程；
（2）求过F且与OM垂直的直线的方程；
（3）求直线PQ的斜率．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），代入M的坐标，即可得到求得抛物线的方程；
（2）求得抛物线的焦点坐标，求得OM的斜率，由两直线垂直的条件，可得所求直线的斜率，即可得到所求直线的方程；
（3）设P（y₁²，y₁），Q（y₂²，y₂），由条件可得△MAB为等腰三角形，即有直线MP，MQ斜率互为相反数，运用直线的斜率公式，化简整理计算即可得到所求值．

解答 解：（1）设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
代入M（1，1），即1=2p，
则抛物线的方程为y²=x；
（2）抛物线y²=x的焦点F（$\frac{1}{4}$，0），
k_OM=1，
过F且与OM垂直的直线的斜率k=-1，
即有所求直线为y=$\frac{1}{4}$-x；
（3）设P（y₁²，y₁），Q（y₂²，y₂），
由动弦MP、MQ分别交x轴于A、B两点，且MA=MB，
△MAB为等腰三角形，即有直线MP，MQ斜率互为相反数，
即$\frac{{y}_{1}-1}{{{y}_{1}}^{2}-1}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{{y}_{2}}^{2}-1}$=0，
化简可得$\frac{1}{{y}_{1}+1}$+$\frac{1}{{y}_{2}+1}$=0，
则y₁+y₂=-2，
即有PQ的斜率为$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查方程的求法和运用，同时考查两直线的位置关系，以及斜率公式的运用，考查化简整理能力，属于中档题．