Question

16．已知函数y=sin（πx+φ）-2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ$-\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可．

解答 解：y=sin（πx+φ）-2cos（πx+φ）=$\sqrt{5}$sin（πx+φ-α），其中sinα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosα=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．
∵函数的图象关于直线x=1对称，
∴π+φ-α=$\frac{π}{2}$+kπ，
即φ=α-$\frac{π}{2}$+kπ，
则sin2φ=sin2（α-$\frac{π}{2}$+kπ）=sin（2α-π+2kπ）=sin（2α-π）=-sin2α=-2sinαcosα
=-2×$\frac{2}{\sqrt{5}}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$-\frac{4}{5}$，
故答案为：$-\frac{4}{5}$

点评 本题主要考查三角函数值的计算，利用辅助角公式以及三角函数的对称轴是解决本题的关键．