Question

11．已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴上，且抛物线上横坐标为1的点到F的距离为2，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，求直线AB的斜率；
（Ⅲ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线方程为C：y²=2px（p＞0），运用抛物线的定义可得1+$\frac{P}{2}$=2，即可解得p，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）依题意F（1，0），设直线AB的方程为x=my+1，联立抛物线方程，消去x，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，即可求得m，进而得到直线AB的斜率；
（Ⅲ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S_△AOB，再由三角形的面积公式计算即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）设抛物线方程为C：y²=2px（p＞0），
由其定义知|AF|=1+$\frac{P}{2}$，又|AF|=2，所以p=2，
即有抛物线的方程为y²=4x．
（Ⅱ）依题意F（1，0），设直线AB的方程为x=my+1．
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y²-4my-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4  …①
因为$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，所以y₁=-2y₂   …②
联立①、②，消去y₁，y₂得m=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
所以直线AB的斜率是±2$\sqrt{2}$．
（Ⅲ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，
从而点O与点C到直线AB的距离相等，
所以四边形OACB的面积等于2S_△AOB，
而2S_△AOB=2×$\frac{1}{2}$•|OF|•|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$．
所以当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线方程和直线方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，以及三角形面积的求法，注意运用对称性和转化思想，属于中档题．