Question

20．已知正方形OABC的边长为a，D、E分别是AB、BC的中点，则cos∠DOE=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由题意画出图象并由勾股定理求出OD、OE，利用向量的加法法则得：$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}$，由向量数量积运算和垂直的条件，求出$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OE}$和cos∠DOE的值．

解答 解：如右图：AO=AB=a，AD=CE=$\frac{a}{2}$，且OA⊥AB，
∴OD=OE=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}a}{2}$，
∵$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}$，
∴$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OE}$=（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}$）
=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{CE}$+$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CE}$
=0+a×$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{2}$×a+0=a²，
∴cos∠DOE=$\frac{\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OE}}{|\overrightarrow{OD}||\overrightarrow{OE}|}$=$\frac{{a}^{2}}{\frac{\sqrt{5}a}{2}×\frac{\sqrt{5}a}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查利用向量的数量积运算求角的余弦值，向量垂直的条件，以及向量的加法法则，属于中档题．