Question

12．已知抛物线的顶点在原点，准线平行于y轴，且经过点（3，-2$\sqrt{6}$）．
（1）求抛物线的方程；
（2）求抛物线被直线2x-y-3=0所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）由题意可设抛物线方程为：y²=2px（p＞0）．把点（3，-2$\sqrt{6}$）代入抛物线方程，解出即可．
（2）设直线2x-y-3=0与抛物线相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立化为4x²-20x+9=0，可得根与系数的关系，利用弦长公式|AB|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）由题意可设抛物线方程为：y²=2px（p＞0）．
把点（3，-2$\sqrt{6}$）代入可得：$（-2\sqrt{6}）^{2}=2p×3$，解得p=4．
∴抛物线的方程为：y²=8x．
（2）设直线2x-y-3=0与抛物线相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3=0}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化为4x²-20x+9=0，
∴x₁+x₂=5，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{9}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{5×（{5}^{2}-4×\frac{9}{4}）}$=$4\sqrt{5}$．

点评 本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．