Question

20．如图，过抛物线C：y²=2px（p＞0）焦点F的直线与C交于 M，N两点，直线x=4交抛物线C于 A，B两点，点 M，N在直线x=4的同侧．已知|AF|=5，四边形AMNB的面积为$\frac{133}{8}$．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线的焦点和准线，由抛物线的定义，即可求得p；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN：x=my+1，代入抛物线方程，消去x，得到y的方程，运用韦达定理，对m讨论，当0≤m＜$\frac{3}{4}$时，将四边形面积转化为三个三角形的面积之和，解方程即可得到m，再讨论当-$\frac{3}{4}$＜m＜0，解得m，即可得到所求方程．

解答 解：（Ⅰ）抛物线C：y²=2px的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
准线为x=-$\frac{p}{2}$，A的横坐标为4，
由抛物线的定义可得|AF|=4+$\frac{p}{2}$=5，
解得p=2；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN：x=my+1，
代入抛物线方程y²=4x，可得y²-4my-4=0，
即有y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$，
当0≤m＜$\frac{3}{4}$时，设AB与x轴交于E，
则S=S_△MNE+S_△AEM+S_△BEN
=$\frac{3}{2}$|y₁-y₂|+2（4-x₁+4-x₂）
=6$\sqrt{1+{m}^{2}}$+12-8m²，
=-8（m²+1）+6$\sqrt{{m}^{2}+1}$+20，
由S=$\frac{133}{8}$，则-8（m²+1）+6$\sqrt{{m}^{2}+1}$+20=$\frac{133}{8}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，1≤t＜$\frac{5}{4}$，
则-8t²+6t+20=$\frac{133}{8}$，
解得t=$\frac{9}{8}$，即m=$\frac{\sqrt{17}}{8}$．故直线MN：x=$\frac{\sqrt{17}}{8}$y+1；
同理当-$\frac{3}{4}$＜m＜0，可得m=-$\frac{\sqrt{17}}{8}$．
故直线MN：y=±$\frac{8}{17}$$\sqrt{17}$（x-1）．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，同时考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及三角形的面积公式的运用，属于中档题．